希尔伯特空间

日期: 2016-08-13 标签: publish
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内积欧氏空间内积
 线性空间
 完备性

定义
设X是复线性空间，如果对于X中任意两个向量x,y,有一复数(x,y)与之对应，并且
满足如下条件:
1, $(x,x) \geq 0$ ,且 (x,x)=0 等价于
$x=0,x \in X$

2, $(\alpha x + \beta y,z) =\alpha (x,z) +\beta (y,z), x,y,z \in X,\alpha,\beta \in C$

3, $(x,y)=\overline{(y,x)}$

则称 (x,y) 为x与y的内积,X称为内积空间.

令
$\|x\|=\sqrt {(x,x)}$
称为x的范数。

若X中范数完备，则称它为Hilbert（希尔伯特）空间
施瓦茨(Schwarz)不等式

设X按内积(x,y)成为内积空间，则对于X中的任意向量x,y,成立不等式:
$|(x,y)| \leq \|x\|\|y\|$
当且仅当x与y线性相关时，不等式等号才成立。

施瓦茨(Schwarz)不等式

投影定理
设X是度量空间，M是X的非空子集,x是X中的一点，称
$\mathrm{inf}_{y \in M} d(x,y)$
为点x到M的距离,记为 d(x,M),在赋范线性空间中
$d(x,M) = \mathrm{inf}_{y \in M} \|x-y\|$ .

定量极小化向量定理
设X是内积空间，M是X中非空凸集，并且按X中由内积导出的距离完备，那么
对每个 $x \in X$ ，存在唯一的 $y \in M$ ,
使得
$\|x-y\| =d(x,M)$