数分:stolz定理

日期: 2010-07-27 分类: 数学/数学分析标签: publish
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stolz定理为求某些类型的待定型的极限提供方便

stolze定理
设 $\{y_n\}$ 是单调增加的正无穷大量,且
$\lim_{n \to \infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=a$ (a可以是有限量, $+\infty,-\infty$ )
则
$\lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n}=a$ .

证明见Stolz定理证明

它的应用

$\lim_{n \to \infty}\frac{1^k+2^k+\dotsb+n^k}{n^{k+1}}=\frac1{k+1}\;(k\in \mathbf{N}^+)$

设 $\lim_{n \to \infty}a_n=a$ ,有
$\lim_{n \to \infty}\frac{a_1+ 2 a_2 +\dotsb +n a_n}{n^2}=\frac a 2$

设 $0 <\lambda <1,\lim_{n \to \infty}a_n=a$ ,有
$\lim_{n \to \infty}(a_n+\lambda a_{n-1}+\lambda^2 a_{n-2}+\dotsb+\lambda^n a_0)=\frac a {1-\lambda}$ .

设 $A_n=\sum_{k=1}^n a_k$ ,当 $n \to \infty$ 时有极限, $\{p_n\}$ 为单调增加的正数数列,且 $p_n \to +\infty(n \to \infty)$ .有
$\lim_{n \to \infty}\frac{p_1 a_1+p_2 a_2 +\dotsb+p_n a_n}{p_n}=0$ .

怎么证明
$\lim_{n \to \infty}\frac{n^k}{a^n}=0(a>1)$