Stolz定理证明

日期: 2020-01-31 标签: publish
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stolze定理
设 $\{y_n\}$ 是单调增加的正无穷大量,且
$\lim_{n \to \infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=a$ (a可以是有限量, $+\infty,-\infty$ )
则
$\lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n}=a$ .

证明先考虑a=0的情形.
由 $\lim_{n \to \infty} \frac{y_n - y_{n-1}}{x_n - x_{n-1}} =0$ ，可知, $\forall \varepsilon >0, \exists N_1, \forall n > N_1$ :
$|x_n - x_{n-1}| < \varepsilon |y_n - y_{n-1}|$ ,
由于 $\{ y_n \}$ 是正无穷大量，显然可以要求 $y_{N_1}>0$ ,于是
$\begin{split} & |x_n - x_{N_1}| \le |x_n - x_{n-1}| + \dots +|x_{n-1}-x_{n-2}| + \dotsb + |x_{N_1 +1} - x_{N_1 }| \\ < & \varepsilon(y_n - y_{n-1}) + \varepsilon (y_{n-1} - y_{n-2}) + \dotsb + \varepsilon (y_{N_1 +1 } - y_{N_1}) \\ = & \varepsilon (y_n - y_{N_1}) \end{split}$

因为
$\frac{x_n}{y_n} = \frac{x_n -x_{N_1 }}{y_n - y_{N_1 }} \cdot \frac{y_n - y_{N_1}}{y_n} + \frac{x_{N_1}}{y_n}$

固定 N_1 ,取 N > N_1 ,使得当n > N时，
$|\frac{x_{N_1}}{y_n}| < \varepsilon$ .

从而
$|\frac{x_n}{y_n}| \le |\frac{x_n -x_{N_1 }}{y_n - y_{N_1 }} \cdot \frac{y_n - y_{N_1}}{y_n}| +| \frac{x_{N_1}}{y_n}| < 2 \varepsilon$ .

当a是非零有限数时，令 x_n'=x_n -a y_n ,这时
$\lim_{n \to \infty} \frac{x_n'- x_{n-1}'}{y_n - y_{n-1} } = \lim_{n \to \infty} \frac{(x_n -a y_n)- (x_{n-1} - a y_{n-1})}{y_n - y_{n-1} } = \lim_{n \to \infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}} -a =0$
从而
$\lim_{n \to \infty}\frac{x_n'}{y_n}= \lim_{n \to \infty}\frac{x_n -a y_n}{y_n} = \lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n} -a =0$
也就是
$\lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n} = a$

对于 $a= + \infty$ 的情形，首先 $\exists N,\forall n > N$
$\frac{x_n - x_{n-1}}{y_n - y_{n-1}} > 1$ ,
即
$x_n - x_{n-1} >y_n - y_{n-1}$
从而 $\{x_n\}$ 单调增加。

$x_n - x_N =(x_n -x_{n-1})+(x_{n-1}- x_{n-2}) + \dotsb + (x_{N+1}- x_N) > (y_n - y_{n-1} ) + (y_{n-1}-y_{n-2}) + \dotsb + (y_{N+1}-y_N) = y_n-y_N$
因此 $\{x_n\}$ 也是正无穷大量.

由于 $\lim_{n \to \infty} \frac{y_n - y_{n-1}}{x_n - x_{n-1}} =\frac{1}{a} =0$ ,从而
$\lim_{n \to \infty } \frac{y_n}{x_n}=0$ ,
即
$\lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n} = + \infty$