数分：正交多项式

日期: 2010-08-10 分类: 数学/数学分析标签: [publish]
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设 g_n(x) 是定义在[a,b]上的可积函数,(n=0,1,2,...),若对任意的m和n,
g_m(x)g_n(x) 在[a,b]上可积，且有
$\int_a^b g_m(x) g_n(x) dx =\left\{ \begin{array}{ll} 0,& m \not=n \\ \int_a^b g^2_n(x) dx >0,& m=n, \end{array} \rigth.$

则称 $\{g_n(x)\}$ 是[a,b]上的正交函数列。特别地，当 g_n(x)
是n次多项式时，称 $\{g_n(x)\}$ 是[a,b]上的正交多项式

n次Legendre多项式
$p_n(x)=\frac1{2^n n!} \frac{d^n}{d x^n}(x^2-1)^n,\qquad n=0,1, \dotsc$
是[-1,1]上的正交多项式.