拉普拉斯变换性质

日期: 2016-11-20 标签: publish
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拉普拉斯变换

设 $\wp[f(t)] =F(s)$

位移（时间域）
$\wp[f(t-\tau_0) 1(t-\tau_0)]=e^{-\tau_0s}F(s)$
$\tau_0>0$

相似性
$\wp[f(at)] = \frac{1}{a} F(\frac{s}{a})$
a>0

一阶导数
$\wp[\frac{\mathrm d f(t)}{\mathrm d t}] = sF(s)-f(0)$

n阶导数
$\wp[\frac{\mathrm d^n f(t)}{\mathrm d t^n}] =s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(t)-\dotsm-f^{(n-1)}(0)$

不定积分
$\wp[\int f(t) \mathrm d t ] = \frac1 s [F(s)+f^{-1}(0)]$

定积分
$\wp[\int_0^t f(t) \mathrm d t]= \frac 1 s F(s)$

函数乘以t
$\wp[tf(t)]= -\frac{\mathrm d}{\mathrm ds} F(s)$

函数除以t
$\wp[\frac{f(t)}{t}] =\int_0^{+\infty} F(s) \mathrm d s$

位移(s域)
$\wp[e^{-at}f(t)] =F(s+a)$

初始值
$\wp [\lim_{t \to 0 +}f(t) ] =\lim_{s \to \infty } s F(s)$

终值
$\wp[\lim_{t \to \infty} f(t)] =\lim_{s \to 0} sF(s)$

卷积
$f_1(t) * f_2(t) = \int_0 ^ t f_1(\tau) f_2(t-\tau) \mathrm d \tau$
$\wp[f_1(t)*f_2(t)] =F_1(s)F_2(s)$

单位阶跃函数 $1(t-\tau)$ 使得
$f(t-\tau) 1(t-\tau)= \begin{cases} 0 , & t <\tau \\ f(t-\tau) & t>\tau \end{cases}$