实变函数:可测函数

日期: 2016-08-14 分类: 数学/实变函数标签: [publish]
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设f(x)是定义在可测集 $E \subset R^n$ 的实函数，如果
对于任意有限实数a, E[f >a] 都是可测集，则称f(x)定义在E
上的可测函数.

定理
设f(x)是定义在可测集E上的实函数，下列任一条件都是f(x)在E上可测的充要条件:
1,对任何有限实数a, $E[f \ge a]$ 都可测
2,对任何有限实数a, E [f <a] 都可测。
3,对任何有限实数a, $E[f \le a ]$ 都可测。

定理
可测集 $E \subset R^n$ 上的连续函数都是可测函数。

定理
(1) 设f(x)是可测集E上可测函数，而 $E_1 \subset E$ 为E的可测子集，
则f(x)是看作定义在 E_1 上的函数时，它是 E_1 上
的可测函数
(2) 设f(x)是定义在有限个可测集 $E_i (i=1,2,\dots,s)$ 的并集
$E= \cup_{i=1}^s E_i$ 上，且f(x)在每个 E_i 上可测，则f(x) 在E上也可测。

引理
设 f(x) 与 g(x)为有上可测函数，则 E[f >g] 与 $E[f \ge t]$ 都是可测集。

设f(x),g(x)在E上可测，则下列函数（假定它们在E上有意义)皆在E上可测：
(1) f(x)+g(x)
(2) |f(x)|
(3) $\frac 1 {f(x)}$
(4) $f(x) \cdot g(x)$

定义3：设 f(x) 的定义域可分为有限个互不相交的可测集 $E_1, E_2, \ldots, E_n$ ，且 $E = \bigcup_{i=1}^{n} E_i$ ，使得 f(x) 在每个 E_i 上都等于某常数，则称 f(x) 为简单函数。

定理5：设 $\{ f_n(x) \}$ 是上一列（或有限个）可测函数，则 $\mu(x) = \inf_n f_n(x)$ 与 $\lambda(x) = \sup_n f_n(x)$ 都在上可测。

定理6：设 $\{ f_n(x) \}$ 是上一列可测函数，则 $F(x) = \underline {\lim} _{n \to \infty} f_n(x)$ ， $G(x) = \overline{ \lim}_ {n \to \infty} f_n(x)$ 也在上可测，特别当 $F(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x)$ 存在时，它也在上可测。

定理7（可测函数与简单函数的关系）：设 f(x) 在上可测，则 f(x) 总可以表示成一列简单函数 $\{ \psi_n(x) \}$ 的极限函数 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \psi_n(x)$ ，而且还可办到 $|\psi_1(x)| \leq |\psi_2(x)| \leq \ldots$ 。

定义 4 设π是一个与集合的点有关的命题；如果存在子集，适合 m(M) = 0 ，使得π在 $E \setminus M$ 上恒成立，也就是， $E \setminus E[\pi \text{ holds true}]$ 是零测度集，则我们称π在上几乎处处成立，或说 a.e. 于成立。

引理设 $m(E) < \infty$ ， $\{ f_{n} \}$ 是上的一列几乎处处有限的可测函数；若 $\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) = f(x)$ a.e. 于，且 $|f(x)| < \infty$ a.e. 于，则对任意 $\epsilon > 0$ 和任意正整数，作 $E[n,\epsilon] = E[|f_k - f_{n}| < \epsilon, k \geq n]$ ，我们有
$\lim_{n \rightarrow \infty} m(E \setminus E[n,\epsilon]) = 0$ 。

推论设 $m(E) < \infty$ ， |f| 是上的一列 a.e. 收敛于一个 a.e. 有限的函数的可测函数列，则对任意 $\epsilon > 0$ 有 $\lim m(E \setminus E[|f_{n} - f| < \epsilon]) = 0$ 。

定理 (EropoB) 设 $m(E) < \infty$ ， $\{f_{n}\}$ 是上的一列 a.e. 收于一个 a.e. 有限的函数的可测函数，则对任意 $\delta > 0$ ，存在子集 $E_{\delta} \subset E$ ，使 $f_{n}$ 在 $E_{\delta}$ 上一致收敛，且 $m(E \setminus E_{\delta}) < \delta$ 。