实变函数:可测集

日期: 2016-08-14 标签: publish
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外测度

可测定义（卡拉泰奥多里）
设E为 R^n 中的点集，如果对于任一点集T 都有
$m^* T =m^* (T \cap E) + m^* (T \cap \complement E)$
则称E是L可测的，这时E的L外测度 m^* E 即称为E的L测度，
记为

L可测集全体记为 $\mu$ .

定理
集合E可测的充要条件是对于任意的 $A \subset E$ , $B \subset \complement E$ ,总用
$m^* (A \cup B) =m^* A + m^* B$

定理
S可测的充要条件是 $\complement S$ 可测。

定理
设 S_1,S_2 可测，则 $S_1 \cup S_2$ 也可测，
并且当 $S_1 \cap S_2 = \emptyset$ 时，对于任意集合T总有
$m^* (T \cap (S_1 \cup S_2)) =m ^* (T \cap S_1)+ m^* (T \cap S_2).$

定理
S_1,S_2 都可测，则 $S_1 \cap S_2$ 也可测。

定理
设 $\{S_i\}$ 是一列互不相交的可测集，则 $\cup_{i=1}^\infty S_i$ 也是可测集，且
$m(\cup_{i=1}^\infty S_i)=\sum_{i=1} ^\infty m S_i.$

推论
设 $\{S_i\}$ 是一列可测集，则 $\cup_{i=1}^\infty S_i$ 也是可测集。

定理
设 $\{S_i\}$ 是一列可测集,则 $\cap _{i=1}^\infty S_i$ 也是可测集。

设 $\{S_i\}$ 是一列递增的可测集：
$S_1 \subset S_2 \subset \dotsb \subset S_n \subset \dotsb .$
令 $S=\cup_{i=1} ^ \infty =\lim_{n \to \infty } S_n$ ,则
$mS = \lim_{n \to \infty} mS_n$

定理
设 $\{S_i\}$ 是一列递降的可测集合:
$S_1 \supset S_2 \supset \dotsb \supset \dotsb S_n \supset \dotsb.$
令 $S= \cap_{i=1 } ^{\infty} S_i =\lim_{n \to \intfy} S_n$ ,则
当 $mS_1 < \infty$ 时，
$mS =\lim_{n \to \infty} m S_n$ .