常微分:Bessel函数

日期: 2014-10-06 标签: publish
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见＜常微分方程＞P158
n阶贝赛尔(Bessel)方程:
$x^2 \frac{\mathrm d ^2 y}{\mathrm d x^2} + x \frac{\mathrm d y}{\mathrm d x }+ (x^2-n^2)=0$

一般的，考虑二阶齐线性方程
$\frac{\mathrm d ^2 y}{\mathrm d x^2}+ p(x) \frac{\mathrm d y}{\mathrm d x }+q(x)y=0$

如果方程的系数 p(x) 和 q(x) 都能展成x的幂级数，且收敛
区间为 |x| < R ,则方程有形如
$y=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$
的特解，也以 |x|<R 为级数的收敛区间.

若方程中系数 p(x),q(x) 具有这样的性质，即 x p(x) 和
x^2 q(x) 均能展成x的幂级数，且收敛区间为|x| <R,则方程有形如
$y=x^\alpha \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$
的特解，这里 $a_0 \not=0$ , $\alpha$ 是一个特定的常数.级数
也以 |X| <R 为收敛区间.

可解得贝赛尔方程的一个特解
$y_1=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k! \Gamma(n+k+1)} (\frac x 2)^{2k+n} \equiv J_n(x)$
称为n阶贝赛尔函数.

$\Gamma(s)$ 定义如下:
当 s>0 时, $\Gamma(s)=\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x} \mathrm d x$ ;当 s<0 且非整数时,由递推公式
$\Gamma(s)=\frac1 s \Gamma(s+1)$ 定义.它具有性质:
$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$ ;
$\Gamma(n)=n!$ ,n为正整数.