数分：初等函数的不定积分

日期: 2010-08-09 分类: 数学/数学分析标签: publish
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基本的
$\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C$
$\int \sec^2 x dx=\tan x +C$
$\int \csc^2 x dx=-\cot x+C$
$\int \tan x \sec x dx=\sec x+C$
$\int \cot x \csc x dx=-\csc x+C$
$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+ C$
$\int \frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C$

第一类换元积分法
$\int \frac{dx}{x-a}=\ln|x-a|+C$
$\int \frac{dx}{(x-a)^n}=\frac1{n-1} \cdot \frac1{(x-a)^{n-1}+C}$
$\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac1{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C$

$\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac1 a \arctan \frac a x +C$
$\int \frac{dx}{a^2-x^2}=\arcsin \frac a x+ C$

$\int \tan x dx=-\ln |\cos x|+C$
$\int \cot x dx=\ln |\sin x|+C$
$\int \sec x dx=\ln|\sec x+\tan x|+C$
$\int \csc x dx=\ln |\csc x- \cot x|+C$

第二类换元积分法
$\int \sqrt{a^2-x^2} dx= \frac1 2 x \sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2} \arcsin \frac x a +C$

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}} dx =\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$
$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} dx =\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C$

分部积分法
$\int \ln x dx=x(\ln x-1)+C$

$\int \sqrt{x^2+a^2} dx =\frac1 2 (x \sqrt{x^2+a^2}+a^2 \ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|)+C$
$\int \sqrt{x^2-a^2} dx =\frac1 2 (x \sqrt{x^2-a^2}-a^2 \ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|)+C$