电磁学:静电场

日期: 2010-11-23 分类: 物理/电磁学标签: publish
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任何带电体所带电量都是基本电量 $e=1.602\times10^{-19}C$ 的整数倍。

库仑定律
带电量为 q_2 的点电荷受到距离r的带电量为 q_1 的点电
荷的作用力为 $\vec{F}=\frac1{4\pi \varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r^2} \vec{r_0}$ ,其中 $\vec{r_0}$ 为施力电花荷指向受力电荷的单位
向量。 $\varepsilon_0=8.854187817 \times 10^{-12} C^2 \cdot N^{-1} \cdot m^{-2}$ 称为真空中的介电常数。

$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ 的静似值为
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 8.99 \times 10^9 N \cdot m^2 / C^2$

电场中任一点处的场强等于各个点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和。

点电荷q放在场强E的外电场中某一点时，电荷受静电力 $\vec{F}=q \vec{E}$

高斯定理
通过真空中的静电场中任一闭合曲面的电通量与该曲面内电荷的关系
$\Phi_e=\oint_s \vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{S}=\frac{\sum q_i} {\varepsilon_0}$

在场强 $\vec{E}$ 中，试验电荷q从a点移动到b点时做的功为
$A_{ab}=\int_a^b q \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{l}$

从而有静电场的环流定理
在静电场中，场强E的环流恒等于零。
$\oint_l \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{l}=0$

静电场是保守力场，可以引入电势能的概念，用W表示。试验电荷q从a点移动到b点时,电场力
对它做功等于相应电势能增量的负值，即
$A_{ab}=\int_a^b q \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{l}=-(W_b-W_a) =W_a-W_b$ .
$\frac{W_a}{q}$ 反映了电场在a点的性质，称为a点的电势，若规定无穷远
处为电势零点，则在a点的电势为
$U_a=\int_a^\infty \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{l}$ .
电场中任意两点a和b两点之间的电势差为
$U_{ab}=U_b-U_a=\int_a^b \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{l}$

电场中任一点的场强等于该点电势梯度的负值
$\vec{E}=-\mathrm{grad}U=-\nabla U$
其中 $\nabla=\frac{\partial}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial}{\partial z}\vec{k}$

导体的静电平衡条件的充要条件是：导体内部的场强为零，在导体表面附近场强沿表面的法
线方向。处于静电平衡状态的导体是等势体，导体表面是等势面；净电荷只分布在导体的表
面上；靠近导体表面附近处的场强为大小为 $E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ .
$\sigma$ 为导体表面在该处的电荷密度。

在外电场作用下，介电质处于极化状态时，单位体积内分子电偶极矩的矢量和称为极化强
度矢量 $\vec{P}$ .

在介质中沿任意闭合曲面的极化强度通量等于曲面所包围体积内极化电荷的负值
$\oint_s \vec{P}\cdot \mathrm{d}\vec{S}=-\sum q'_i$ .

在有电介质时，总电场E包括自由电荷产生的电场和极化电荷产生的电场。定义电位移矢量
$\vec{D}=\varepsilon_0 \vec{E}+\vec{P}$
就得到有介电质的高斯定理
$\oint_s \vec{D}\cdot \mathrm{d}\vec{S}=\sum q$ .
在静电场中通过任意闭合曲面的电位移通量等于闭合面内自由电荷的代数和。
在各向同性电场中， $\vec{D},\vec{E},\vec{P}$ 三个量方向相同，且
$\vec{P}=\varepsilon_0 \chi \vec{E}$ ，令 $\varepsilon_r=1+\chi$ ,则 $\vec{D}=\varepsilon_0 \varepsilon_r \vec{E}$ ,
这里 $\varepsilon_r$ 称为电介质的相对介电常数。

附近没有其他导体和其他带电体的孤立导体，它所带电量与它的电势U成正比，比列系数
$\frac{q}{U}=C$ 称为孤立导体的电容，反映了导体储存电荷电能的
能力。