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在18世纪中叶，对第五公设的研究开始出现有意义的进展。意大利数学家萨凯里(G.Saccheri)
最先使用归谬法来证明平行公设，他在一本著名的＜欧几里得无懈可击）书中，从著名的“萨
里四边形”出发来证明平行公设，在里面，直角假设与第五公设等价，
在假定直线无限长的情况下，首先由钝角假设推出了矛盾。他从锐角假设出发获得
了一系列新奇有趣的结果，虽然这些结果实际上并不包含矛盾，但萨凯里认为它们太不合情理，
便以为自已导出了矛盾而判定锐角假设是不真实的。
萨凯里的工作激发了数学家们进一步的思考。1763年德国数学家克吕格尔在其博士论文中首先
指出了萨凯里的工作实际上并未导出矛盾，只是得到了似乎与经验不符的结论。
他的见解启迪了瑞士数学家兰伯特对
这一问题进行了更加深入的探讨，1766年他写出了＜平行线理论＞一书，他并不认为锐角假设
导出的结论是矛盾，而且他认识到一组假设如果不引起矛盾的话，就提供了一种可能的几何。
然而他对是否发表自已的结论一直踌躇不前。
在非欧几何正式建立起来之前，它的技术性内容已经被大量地推导出来。
最先认识到非欧几何是一种逻辑相容并且可以描述物质空间、像欧氏几何一样正确的新几何
学的是高斯、他从1799年开始意识到平行公设不能从其他的欧几里得公设推出来，并从1813年
起发展了这种平行公设在其中不成立的新几何。但他除了在给朋友的一些信件中对其非欧几何
思想有所透露外，生前并没有发表过任何关于非欧几何的论著。这主要是因为他担心与当时流
行的康德空间哲学相抵触，担心世俗的攻击。当声誉甚隆的他决定将自已的发现秘而不宣时，
匈牙利青年波约却急切地希望通过高斯的评价而将自已的关于非欧几何的研究公诸于世，他的
父亲将他的＜绝对空间的科学＞寄给高斯，高斯回信他的父亲：“称赞他就等于称赞我自已，
整篇文章的内容，您儿子所采取的思路和获得的结果，与我在30至35年前的思考不谋而合。”
J.波约对他的答复深感失望，认为高斯想剽窃自已的成果。
1840年俄国数学家罗巴切夫斯基最早、最系统的发表了自已的研究成果，并且也是最坚定地宣
传和捍卫自已新思想的一位，他先是于1826年在喀山发表了＜简要论述平行线定理的一个严格
证明＞的演讲，而后又在1829年发表了题为＜论几何原理＞的论文，这是历史上第一篇公开发
表的非欧几何文献。但由于是用俄文刊登在＜喀山通讯＞上而未引起数学界的注意。罗巴切
夫斯后来为了发展、阐释这种新几何学而付出了毕生心血。面对种种攻击，他表现出比高斯更
有勇气，一直到1855年，当他已是一位双目失明的老人时，他还口述了一本叫＜泛几何学＞
的著作，坚信自已的新几何学的正确性。
[评]当一新的思想或新的观念要成为社会意识时，需要相应的社会存在作为基础。从社会的
角度来看，实践基础制约了认识达到的高度，在这个基础上，人表现出了足够的能动性。但由于数学表现出最高的抽象，从生产实践到数学理论经历一个很长的过程，所以它的发展对于
实践的发展有一定的滞后性。