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微积分创使人已经利用微积分研究曲线的曲率、拐点、渐伸线、渐屈线等而获得了属于微分几
何范畴的部分结果。但微分几何成为独立的数学分支主要是在18世纪。
1731年法国青年数学家克莱洛发表＜关于双重曲率曲线的研究＞，开创了空间曲线理论，是建
立微分几何的重要一步。欧拉是微分几何的重要奠基人，他早在1736年就引进了平面曲线的
内在坐标的概念，即以曲线弧长作为曲线上点的坐标。在＜无限小分析引论＞第2卷中引进了
曲线的参数表示。欧拉将曲率定义为曲线的切线方向与一固定方相的交角相对于弧长的变化率。
并推导了曲率半径的解析表达式。欧拉的曲率定义是对克莱洛引进的空间曲线的两上曲率之一
的标准化，（另一个曲率，现在叫“挠率”，其解析表达式到19世纪初才找到）。
欧拉关于曲面论的经典工作＜关于曲面上曲线的研究＞（1760）被公认为微分几何史上的一个
里程碑。他正确地建立了曲面的曲率概念。他引进了法曲率，主曲率，并得到了法曲率的欧拉
公式。1771年后欧拉还率先研究了他所谓“可展平在一张平面上”的曲面即可展曲面。导出了
可展性的充分必要条件。
18世纪微分几何发展由于蒙日的工作则臻于高峰。蒙日1795年发表的＜关于分析几何应用的活
页论文＞是第一部系统的微分几何著述。他极大地推进了克莱洛、欧拉的空间曲线与曲面理论，
其特点是与微分方程的紧密结合。曲面与曲面的各种性质用微分方程来表示，有共同几何性质
或同一种方法生成的一簇曲面应满足一个偏微分方程。他不仅将分析应用于几何，同时也反过
来用几何去解释微分方程从而推动后者的发展。他开创了偏微分方程的特征理论，引进了探讨
偏微分方程的几何工具－－特征曲线与特征锥。