数分：闭区间上的连续函数

日期: 2010-07-28 分类: 数学/数学分析标签: publish
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证明见零点存在定理证明

有界性定理
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上有界.

最值定理
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则它在[a,b]上必能取到
最大(小)值,即存在 $\xi,\eta \in [a,b]$ ,对于一切 $x \in [a,b]$ 成立
$f(\xi) \le f(x) \le f(\eta)$ .

零点存在定理
若函数f(x)在闭区间[a,b]连续,且 $f(a) \cdot f(b) <0$ ,则存在 $\xi \in (a,b)$ ,使 $f(\xi)=0$

中间值定理
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则它一定能取到最大值 $M=\max \left\{f(x) \middle| x \in [a,b] \right \}$ 和
最小值 $m=\min \left\{f(x) \middle| x \in [a,b] \right\}$ 之间的任何一个值.

Cantor定理
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则它在[a,b]上一致连续.

一致连续
设函数在区间X上定义,若对于任意给定的 $\varepsilon >0$ ,存在 $\delta >0$ ,
只要 $x',x'' \in X$ 满足 $|x'-x''| <\delta$ ,就成立 $|f(x')-f(x'')|<\varepsilon$ ,则称函数f(x)在区间X上一致连续.

定理设函数f(x)在区间X上定义,则f(x)在X上一致连续的充分必要条件是:对于任何点列 $\{x'_n\}(x'_n \in X)$ 和 $\{x''_n\}(x''_n \in X)$ ,
只要满足 $\lim_{n \to \infty}(x'_n-x''_n)=0$ ,就成立 $\lim_{n \to \infty}(f(x'_n)-f(x''_n))=0$ .

定理函数f(x)在有限开区间(a,b)上连续，则f(x)在(a,b)上一致连续的充要条件是:f(a+)和f(b-)存在。

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看多元函数的情形

连续映射将紧集映射成紧集。

它可以推出

1.有界性定理设f(x)是紧集 $K \subset \mathbf{R}^n$ 上的连续函数，则f(x)
在K上有界.

2. 最值定理设f(x)是紧集 $K \subset \mathbf{R}^n$ 上的连续函数，则它在
K上必能取到最大值和最小值，即存在 $\xi,\eta \in K$ ,对于一切 $x \in K$ 成立
$f(\xi) \le f(x) \le f(\eta)$ .

一致连续定理设K是 $\mathbf{R}^n$ 中点集， $f:K \to \mathbf{R}^m$
为连续映射，那么f(x)在K上一致连续.

连续映射将连通集映射成连通集。